Lineaarinen funktio on muotoa y = ax + b, ja sen kuvaaja on suora. Taloudessa tämä kuvaa usein kustannusta: b on kiinteä kustannus, joka on aina, ja a kertoo, paljonko jokainen lisäyksikkö maksaa.

Esimerkiksi y = 5x + 200 voisi olla painotyö, jossa aloitusmaksu on 200 € ja jokainen kappale maksaa 5 €. Kulmakerroin a = 5 on vakio: jokainen lisäkappale maksaa saman verran.

Lineaarisia funktioita käytetään usein kahden vaihtoehdon vertailuun. Kun kaksi suoraa leikkaavat, vaihtoehdot ovat yhtä kalliit. Tämä leikkauspiste on monen tehtävän ratkaisukohta: ”kuinka monta yksikköä, ennen kuin vaihtoehto A muuttuu halvemmaksi kuin B?”

Toisen asteen funktio on muotoa y = ax² + bx + c, ja sen kuvaaja on paraabeli. Paraabelin tärkein piirre on sen avautumissuunta. Kun kerroin a on positiivinen, paraabeli avautuu ylöspäin (U-muoto) ja sillä on pienin kohta. Kun a on negatiivinen, paraabeli avautuu alaspäin ja sillä on suurin kohta.

Yksinkertaisin muoto on y = ax², joka kulkee origon eli pisteen (0, 0) kautta. Tällöin funktion pienin arvo on kohdassa x = 0. Esimerkiksi jos päästöjen puhdistuskustannus on tätä muotoa, kustannus on pienin silloin, kun ei puhdisteta lainkaan (x = 0).

Paraabelin tärkeä piirre taloudessa on kiihtyvä kasvu. Funktiossa y = ax² jokainen lisäyksikkö maksaa enemmän kuin edellinen. Tämä kuvaa hyvin tilanteita, joissa viimeiset yksiköt ovat kalleimpia, kuten viimeisten päästöjen poistaminen.

Paraabelin pienin tai suurin kohta löytyy aina samalla kaavalla: x = −b / (2a). Tämä kertoo, missä kohdassa x funktio saa ääriarvonsa. Kun olet laskenut x:n, sijoita se takaisin funktioon saadaksesi vastaavan y-arvon.

Lasketaan esimerkki funktiolla y = 2x² − 8x + 10. Tässä a = 2 ja b = −8. Pienin kohta on x = −(−8) / (2 × 2) = 8 / 4 = 2. Sijoitetaan: y = 2 × 4 − 8 × 2 + 10 = 8 − 16 + 10 = 2. Pienin kohta on siis (2, 2).

Jos funktio on muotoa y = ax² (eli b = 0), kaava antaa suoraan x = 0. Tämän vuoksi tällaisen funktion ääriarvo on aina origossa.

Eksponentiaalinen funktio on muotoa y = a × b^x, missä muuttuja x on eksponentissa. Tunnistat sen juuri tästä: muuttuja on yläindeksinä, ei kertoimena. Jos kantaluku b on suurempi kuin 1, kyseessä on kasvu, ja jos se on välillä 0 ja 1, kyseessä on väheneminen.

Taloudessa tämä on koron, inflaation ja kasvun perusmalli. Korkoa korolle on suoraan eksponentiaalista: pääoma kasvaa kaavalla tulevaisuusarvo = pääoma × (1 + korko)^vuodet.

Eksponentiaalisen kasvun olennainen piirre on, että muutos kiihtyy ajan myötä. Lineaarinen kasvu lisää saman verran joka vuosi, mutta eksponentiaalinen kasvu lisää suhteellisesti saman verran, mikä tarkoittaa absoluuttisesti yhä suurempia lisäyksiä. Tämän vuoksi pitkä sijoitusaika tuottaa korkoa korolle paljon enemmän kuin tasaisesti ajatellen voisi olettaa.

Funktion kulmakerroin eli jyrkkyys kertoo, paljonko y muuttuu, kun x kasvaa yhdellä. Taloudessa tämä on marginaali: kustannusfunktiossa se on lisäkustannus yhdestä lisäyksiköstä, tuottofunktiossa lisätuotto.

Pienimmässä tai suurimmassa kohdassa kulmakerroin on nolla. Paraabelin pohjalla käyrä on hetken vaakasuora, eli marginaali on siellä nolla. Tämä on optimoinnin ydin: paras kohta löytyy sieltä, missä marginaali on nolla.

Käytännössä tämä tarkoittaa, että jos tehtävä kysyy, missä kustannus on pienin tai tuotto suurin, etsi paraabelin kärki kaavalla x = −b / (2a). Lineaarisella funktiolla kulmakerroin on aina sama, joten sillä ei ole tällaista sisäistä ääriarvoa, vaan paras kohta on jommassakummassa päässä.