Molemmissa jakaumissa toistetaan samaa koetta, jolla on kaksi tulosta: onnistuminen todennäköisyydellä p ja epäonnistuminen todennäköisyydellä 1 − p. Toistojen on oltava riippumattomia. Ero on siinä, mitä kysytään.

Geometrinen jakauma vastaa kysymykseen: monennellako yrityksellä ensimmäinen onnistuminen tulee? Tunnistat sen sanoista kuten 'ensimmäinen kerta', 'kuinka mones' tai 'vähintään n yritystä'.

Binomijakauma vastaa kysymykseen: kuinka monta onnistumista tulee, kun yrityksiä on tietty kiinteä määrä? Tunnistat sen sanoista kuten 'kymmenestä heitosta kuinka monta' tai 'täsmälleen kolme onnistumista'.

Olkoon onnistumisen todennäköisyys yhdellä yrityksellä p ja epäonnistumisen 1 − p. Todennäköisyys, että ensimmäinen onnistuminen tulee täsmälleen k:nnella yrityksellä, on (1 − p)^(k−1) × p. Ajatus on, että ensin tulee k − 1 epäonnistumista peräkkäin ja sitten yksi onnistuminen.

Erityisen hyödyllinen on tyyppi 'vähintään n yritystä ennen ensimmäistä onnistumista'. Se tarkoittaa, että ensimmäiset n − 1 yritystä epäonnistuvat kaikki. Tällöin todennäköisyys on (1 − p)^(n−1). Tärkeää on, ettei tähän tule kerrointa p, koska n:nnellä yrityksellä ei tarvitse vielä onnistua.

Geometrisen jakauman odotusarvo eli keskimäärin tarvittavien yritysten määrä on 1 / p. Jos onnistumistodennäköisyys on 0,2, tarvitaan keskimäärin 1 / 0,2 = 5 yritystä.

Kun tehdään n riippumatonta yritystä, joissa onnistumistodennäköisyys on p, todennäköisyys saada täsmälleen k onnistumista on yhdistelmäkerroin kertaa p^k kertaa (1 − p)^(n−k). Yhdistelmäkerroin kertoo, kuinka monella eri tavalla k onnistumista voi sijoittua n yritykseen.

Kaava koostuu kolmesta osasta: yhdistelmäkerroin laskee järjestysvaihtoehdot, p^k on onnistumisten todennäköisyys ja (1 − p)^(n−k) epäonnistumisten. Esimerkiksi viidellä heitolla, kun p = 0,2 ja halutaan täsmälleen 2 osumaa: yhdistelmäkerroin on 10, joten todennäköisyys on 10 × 0,2² × 0,8³ = 0,2048.

Binomijakauman odotusarvo on n × p. Tyyppi 'vähintään yksi onnistuminen' kannattaa laskea vastatapahtuman kautta: vähintään yksi = 1 − (ei yhtään) = 1 − (1 − p)^n.

Molemmat jakaumat edellyttävät kahta asiaa: toistojen on oltava riippumattomia (yhden tulos ei vaikuta toiseen) ja onnistumistodennäköisyyden on pysyttävä vakiona. Tehtävä mainitsee nämä usein erikseen, ja se on vihje jakauman käytöstä.

Yleisin virhe on sekoittaa kaksi tyyppiä keskenään. 'Vähintään n yritystä ensimmäiseen onnistumiseen' on (1 − p)^(n−1), kun taas 'täsmälleen n:nnellä onnistuu' on (1 − p)^(n−1) × p. Sana 'vähintään' tarkoittaa, ettei n:nnellä yrityksellä tarvitse vielä onnistua, joten kerrointa p ei tule.

Toinen yleinen virhe on unohtaa yhdistelmäkerroin binomissa. Pelkkä p^k × (1 − p)^(n−k) on vain yhden tietyn järjestyksen todennäköisyys, ei kaikkien. Muista siis kertoa yhdistelmäkertoimella.